\documentclass[a4paper,10pt]{article}

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% PStricks
\usepackage{pst-all}

%opening
\title{Vektorprodukt - Beweise}
\author{Olaf Merkert}

\newcommand{\cvektor}[3]{\left(\begin{array}{c}#1\\#2\\#3\end{array}\right)}
\newcommand{\cavektor}[1]{\cvektor{#1_1}{#1_2}{#1_3}}
\newcommand{\avektor}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\vp}{\times}
\newcommand{\vcp}[6]{\cvektor{#2 #6 - #3 #5 }{#3 #4 - #1 #6}{#1 #5 - #2 #4}}
\newcommand{\vcap}[2]{\vcp{#1_1}{#1_2}{#1_3}{#2_1}{#2_2}{#2_3}}
\newcommand{\qed}{\begin{flushright}q.e.d.\end{flushright}}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
Dieses Dokument enthält Beweise für das Distributivgesetz für das Vektorprodukt und das "'Verschieben"' von Linearfaktoren. Die Beweise werden in Koordinatenschreibweise durchgeführt und von anschaulichen Grafiken begleitet.
\end{abstract}

\section{Distributivgesetz}
$$\avektor{a} \vp \left(\avektor{b} + \avektor{c} \right) =
\avektor{a} \vp \avektor{b} + \avektor{a} \vp \avektor{c}$$

\begin{figure}[h!]
\centering
% PStricks Einstellungen
\psset{unit=0.45cm}
\degrees[360]
\newgray{hellgrau1}{0.7}
\newgray{hellgrau2}{0.8}
\newgray{grau}{0.5}
\newgray{hellgrau3}{0.9}
\begin{pspicture}(-6,-5)(7,7)
% Flächen
\pspolygon[fillcolor=hellgrau1,fillstyle=solid,linestyle=none](0,1)(-4,-2)(-1,-4)(3,-1)
\pspolygon[fillcolor=hellgrau2,fillstyle=solid,linestyle=none](0,1)(-4,-2)(1,0)(5,3)

% Koordinatensystem
\psset{fillstyle=none,linestyle=solid,arrows=->,arrowsize=4pt}
\psset{linestyle=dashed,arrowsize=4pt}
\psline(6,0)
\rput(6.5,-0.5){$x_2$}
\psline(0,6)
\rput(0.5,6.5){$x_3$}
\psline(-3.5,-3.5)
\rput(-3.5,-4){$x_1$}

% Vektoren
\psset{fillstyle=none,linestyle=solid,arrows=->,arrowsize=4pt}

\psline(0,1)(-4,-2)
\rput(-5,-2){$\avektor{a}$}

\psline(0,1)(5,3)
\rput(6,3){$\avektor{b}$}

\psline(0,1)(3,-1)
\rput(4,-1){$\avektor{c}$}

\psline[linecolor=hellgrau2](0,1)(-1.6,5)
\rput(-3,5){$\avektor{a} \vp \avektor{b}$}

\psline[linecolor=hellgrau1](0,1)(2,4)
\rput(3.5,4){$\avektor{a} \vp \avektor{c}$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-6,-5)(10,10)
% Flächen
%\pspolygon[fillcolor=hellgrau1,fillstyle=solid,linestyle=none](0,1)(-4,-2)(-1,-4)(3,-1)
\pspolygon[fillcolor=hellgrau3,fillstyle=solid,linestyle=none](0,1)(-4,-2)(4,-2)(8,1)

% Koordinatensystem
\psset{fillstyle=none,linestyle=solid,arrows=->,arrowsize=4pt}
\psset{linestyle=dashed,arrowsize=4pt}
\psline(9,0)
\rput(9.5,-0.5){$x_2$}
\psline(0,9)
\rput(-0.5,9.5){$x_3$}
\psline(-4,-4)
\rput(-4,-4.5){$x_1$}

% Vektoren
\psset{fillstyle=none,linestyle=solid,arrows=->,arrowsize=4pt}

\psline(0,1)(-4,-2)
\rput(-5,-2){$\avektor{a}$}

\psline(3,-1)(8,1)
\rput(9,1){$\avektor{b}$}

\psline(0,1)(3,-1)
\rput(3,-1.5){$\avektor{c}$}

\psline[linecolor=grau](0,1)(8,1)
\rput(4,1.5){$\avektor{b} + \avektor{c}$}

\psline[linecolor=hellgrau2](2,4)(0.4,8)
\rput(2,8){$\avektor{a} \vp \avektor{b}$}

\psline[linecolor=hellgrau1](0,1)(2,4)
\rput(3.5,4){$\avektor{a} \vp \avektor{c}$}

\psline[linecolor=hellgrau3](0,1)(0.4,8)
\rput(-2.5,6){$\avektor{a} \vp \left(\avektor{b} + \avektor{c} \right)$}
\end{pspicture}
\caption{Grafik zur Veranschaulichung des Distributivgesetzes}
\end{figure}

% \subsection*{Algebraisch}
$$\cavektor{a} \vp \left[ \cavektor{b} + \cavektor{c} \right]
= \cavektor{a} \vp \cvektor{b_1+c_1}{b_2+c_2}{b_3+c_3}$$
$$= \vcp{a_1}{a_2}{a_3}{(b_1+c_1)}{(b_2+c_2)}{(b_3+c_3)}
= \vcap{a}{b} + \vcap{a}{c}$$
$$= \cavektor{a} \vp \cavektor{b} + \cavektor{a} \vp \cavektor{c}$$
\qed

\newpage
\section{Linearfaktoren}

$$\avektor{a} \vp (k \, \avektor{b}) = (k\, \avektor{a}) \vp \avektor{b} = k \,( \avektor{a} \vp \avektor{b}) $$


\begin{figure}[h!]
\centering
% PStricks Einstellungen
\psset{unit=0.5cm}
\degrees[360]
\newgray{hellgrau1}{0.7}
\newgray{hellgrau2}{0.8}
\newgray{grau}{0.5}
\newgray{hellgrau3}{0.9}
\begin{pspicture}(-8.5,-5.5)(8.5,8.5)
% Flächen
\pspolygon[fillstyle=solid,linestyle=none,fillcolor=hellgrau3](1,0)(-3,-2)(3,-4)(7,-2)
\pspolygon[fillstyle=solid,linestyle=none,fillcolor=hellgrau3](1,0)(-7,-4)(-4,-5)(4,-1)
\pspolygon[fillstyle=solid,linestyle=none,fillcolor=hellgrau1](1,0)(-3,-2)(0,-3)(4,-1)

% Koordinatensystem
\psset{fillstyle=none,linestyle=solid,arrows=->,arrowsize=4pt}
\psset{linestyle=dashed,arrowsize=4pt}
\psline(8,0)
\rput(8,0.8){$x_2$}
\psline(0,8.5)
\rput(-0.8,8){$x_3$}
\psline(-5,-5)
\rput(-5.5,-5){$x_1$}

% Vektoren
\psset{fillstyle=none,linestyle=solid,arrows=->,arrowsize=4pt}

\psline[linecolor=grau](1,0)(-7,-4)

\psline[linecolor=grau](1,0)(7,-2)

\psline(1,0)(-3,-2)
\rput(-2,-0.7){$\avektor{a}$}
\rput(-7,-3){$k\,\avektor{a}$}
\psline(1,0)(4,-1)
\rput(4.5,-0.5){$\avektor{b}$}
\rput(7.5,-1.0){$k\,\avektor{b}$}

\psline[linecolor=grau](1,0)(1,8)
\psline(1,0)(1,4)
\rput(2.5,2){$\avektor{a} \vp \avektor{b}$}
\rput(3.2,6){$k\,\left(\avektor{a} \vp \avektor{b}\right)$}

\end{pspicture}
\caption{Grafik zur Veranschaulichung des Verschieben der Linearfaktoren}
\end{figure}

% \subsection{Algebraisch}
$$\cavektor{a} \vp \cavektor{k\,b}=\vcap{a}{k\,b}=k\,\vcap{a}{b}$$
$$\cavektor{k\,a} \vp \cavektor{b}=\vcap{k\,a}{b}=k\,\vcap{a}{b}$$
$$k \, \left[\cavektor{a} \vp \cavektor{b} \right]=k\,\vcap{a}{b}$$
\qed


\end{document}
